Andiamo ora a studiare gli angoli diedri.

Prendiamo in considerazione due semipiani individuati da un foglio piegato.

La retta r è in comune tra i due semipiani, e viene definita origine dei sempiani. I due semipiani, dividendo in due parti lo spazio, danno origine a due angoli diedri (dal greco èdra «faccia, base», che con il prefisso di- significa quindi «formato da due facce»).

La retta r viene anche definita spigolo del diedro; corentemente alla definizione di angoli concavi e convessi, viene definita diedro concavo la parte di piano che contiene il prolungamento dei lati e diedro convesso la parte di piano che non li continene.

REGOLA: Viene definita angolo diedro la parte di piano in cui lo spazio viene diviso da una coppia di semipiani con la stessa origine.

Inoltre, possiamo definire il diedro come una figura solida illimitata.
Osserviamo la figura seguente:

Abbiamo tagliato il diedro con il piano π, piano passante per il punto P e perpendicolare allo spigolo del nostro diedro. Si originano quindi due semirette (AP e PB), che tagliano in due le facce del diedro.
L’angolo in P viene definito sezione normale del diedro, e la sua ampiezza corrisponde all’ampiezza del diedro.

REGOLA: Viene definita ampiezza del diedro l’ampiezza della sua sezione normale.

Vediamo ora le caratteristiche di due diedri. Osserviamo la figura sottostante:

Come è facilmente intuibile, in base all’ampiezza dell’angolo della sezione normale, il diedro può essere acuto, retto o ottuso.

Nel caso in cui due piani vadano ad incontrarsi lungo una retta r, lo spazio verrà diviso in quattro diedri; inoltre, se i quattro angoli generati sono angoli retti, avremo due piani incidenti e perpendicolari.

Mettiamoci alla prova!
Considera un parallelepipedo a base rettangolare. Quanti diedri puoi contare?

Che cos’è la sezione normale?

Due piani perpendicolari sono per forza incidenti? Perché?

Gli angoloidi
Definiamo ora il concetto di angoloide, che ci sarà utile più avanti. Osserviamo la figura:

REGOLA: Viene definita angoloide la parte di spazio illimitata costituita da tre angoli.

Solidi poliedri e solidi rotondi
Che cos’è un solido?

REGOLA: Viene definito solido qualsiasi oggetto che occupa una porzione di spazio.

Un solido (o figura solida) può essere classificato in due categorie, in base alla sua superficie:

REGOLA: Viene definita solido poliedro la porzione di spazio delimitata da almeno 4 poligoni. I poligoni appartengono a piani diversi e ogni lato del poligono è in comune ad altri due poligoni. Viene definita solido rotondo la porzione di spazio delimitata, almeno in parte, da superfici curve.

Il termine poliedro deriva sempre dal greco èdra «base, faccia», questa volta con il prefisso poli- che significa quindi «composto da più facce».
I poligoni che lo costituiscono vengono definiti facce del poliedro e i lati che li delimitano vengono chiamati spigoli del poliedro.

Quando un piano, passante per una faccia del poliedro, ha in comune con il poliedro altri punti oltre a quelli che appartengono a quella stessa faccia, il poliedro si definisce concavo. Al contrario, quando ogni piano che passa per una faccia ha in comune con il poliedro soltanto i punti che appartengono a quella stessa faccia, parliamo di poliedro convesso.

Il matematico svizzero del XVIII secolo Eulero (italianizzazione di Leonhard Euler) stabilì una relazione tra il numero delle facce (F), degli spigoli (S) e dei vertici (V) di un poliedro semplice:

F + V = S + 2

Infatti, in un poliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2. Questa relazione prende appunto il nome di relazione di Eulero.

Poliedro	Facce (F)	Vertici (V)	Spigoli (S)
Tetraedro	4	4	6
Ottaedro	8	6	12
Icosaedro	20	12	30
Esaedro (cubo)	6	8	12
dodecaedro	12	20	30

Mattiamoci alla prova!
Riporta sul tuo quaderno, rielaborando l’enunciato, la definizione di figura solida.

Quanti tipi di solidi esistono? Descrivi le loro caratteristiche.

Osserva la seguente figura e indica di che tipo di solidi si tratta.