Prendiamo ora in considerazione un semicerchio e facciamolo ruotare di 360° intorno al suo diametro: abbiamo dato origine ad una sfera.
REGOLA: Viene definito sfera il solido che si origina ruotando di 360° un semicerchio intorno al suo diametro.
Il centro e il raggio del semicerchio vengono definiti centro e raggio della sfera. La totalità della superficie curva delimitata dalla rotazione della semicirconferenza viene definita superficie sferica. Tutti i punti che appartengono alla superficie sferica sono equidistanti dal centro (distanza che equivale al raggio della sfera).
REGOLA: Viene definito superficie sferica l’insieme di punti dello spazio tutti equidistanti dal centro.
La superficie sferica è una superficie che non è spianabile, cioè non è possibile stenderla su un piano senza incorrere in una deformazione. Pertanto, si dice che la superficie sferica non è sviluppabile.
È facile rendersi conto di come la sfera sia un solido molto particolare, che ha messo a dura prova i grandi matematici del passato. Infatti, fu grazie a Galileo che siamo in grado di calcolare l’area della superficie sferica, e grazie ad Archimede che possiamo determinare il suo volume.
Nel XVII secolo Galileo Galilei riuscì, grazie ad un procedimento sperimentale, a determinare la formula per il calcolo dell’area della superficie sferica. Egli costruì una superficie sferica di lamiera, con lo spessore costante, e poi costruì quattro cerchi con lo stesso spessore e lo stesso raggio della sfera. Pesò questi elementi e vide che il peso della sfera era uguale al peso dei quattro cerchi. Da ciò, dedusse che la superficie sferica è equivalente ai quattro cerchi.
REGOLA: Per calcolare l’area della superficie sferica è necessario moltiplicare per 4 la superficie di un cerchio che ha lo stesso raggio della sfera.
In generale,
A sfera = 4 π r2
Passiamo ora al calcolo del volume di una sfera, e torniamo indietro al III secolo a.C. Archimede, grande matematico e scienziato, che ha dedicato molto dei suoi studi alla sfera e al cilindro, titolo anche di una sua opera. Il suo obiettivo era quello di dimostrare che la sfera equivalesse ai 2/3 del cilindro circoscritto ad essa.
Probabilmente Archimede aveva già intuito che il rapporto tra i due solidi fosse di 2 a 3, ma il «problema» era dimostrarlo. Egli aveva già dato dimostrazione del fatto che la superficie del cerchio equivalga a quella del triangolo rettangolo che ha come cateti la circonferenza rettificata e il raggio stesso; da qui, probabilmente ha ipotizzato che il volume della sfera equivalesse a quello del cono che ha la superficie della sfera stessa come cerchio di base, e come altezza il raggio della sfera.
Tralasciando l’ardua dimostrazione teorica di questa intuizione, vedremo attraverso una lettura sperimentale il senso di questo procedimento.
Immaginiamo di costruire con lo stesso materiale una sfera ed un cilindro equilatero che ha lo stesso raggio della sfera; pesando i due solidi, vediamo che il peso della sfera equivale ai 2/3 del peso del cilindro. Possiamo quindi dedurre che la sfera equivale ai 2/3 del cilindro, e quindi il volume della sfera corrisponde ai 2/3 del volume del cilindro.
V cilindro = π r2 ∙ 2r à V cilindro = 2 π r3
V sfera = 2/3 ∙ 2 π r3 = 4/3 π r3
REGOLA: Per calcolare il volume della sfera è necessario moltiplicare il cubo del raggio per 4/3 π.
In generale,
V sfera = 4/3 π r3
Mettiamoci alla prova!
Riporta sul tuo quaderno le formule appena studiate nel capitolo e ricava le inverse.
Una sfera ha il volume che misura 36 π cm3. Quanto misura la sua superficie sferica?
La sfera e il piano
Vediamo ora le posizioni in cui una sfera può trovarsi rispetto ad un piano α.
Quando un piano è secante rispetto ad una sfera, in ogni caso la sezione che viene prodotta è un cerchio.
Le due parti in cui viene suddivisa la sfera vengono definite segmento sferico ad una base; ognuna delle due parti in cui viene suddivisa la superficie sferica viene definite calotta.
Quando il piano è secante passando per il centro viene definito piano diametrale, e individua due semisfere; il piano diametrale origina una sezione che viene definita cerchio massimo (la sezione con la superficie maggiore).
Qualsiasi sia il piano secante che prendiamo in considerazione (parliamo di quelli passanti per il centro), esso costituisce l’asse di simmetria per la sfera. Pertanto, una sfera ha infiniti assi di simmetria, e l’insieme degli infiniti assi di simmetria di una sfera viene definito stella di piani.
Due semicerchi massimi dividono la sfera in due parti congruenti, che vengono definite spicchio sferico. Inoltre, la superficie sferica che delimita uno spicchio sferico prende il nome di fuso sferico.
Mettiamoci alla prova!
Quante sono le posizioni che una sfera può assumere rispetto ad un piano?
Il segmento sferico ad una base è la stessa cosa della calotta? Perché?
Un piano dista dal centro di una sfera 165 mm. Il piano crea una sezione sulla sfera la cui area misura 484 π cm². Quanto misura l’area della superficie sferica?