Andiamo ora a studiare come gestire le operazioni con i monomi, iniziando dall’addizione algebrica.
Consideriamo il primo caso:
2xy – 3xy + 6xy
I tre monomi sono simili, in quanto hanno la stessa parte letterale. In questo caso è possibile eseguire la loro somma, raccogliendo a fattor comune la parte letterale e sommando così i coefficienti.
xy(2 – 3 + 6) = 5xy
Consideriamo adesso il caso seguente:
2 xy + 5xy² - 4x²y² - y²
Non essendoci monomi simili non è possibile eseguire i calcoli, per cui l’espressione si lascia così come si presenta.
Vediamo ora un’altra possibilità che si può verificare:
3xy + 5xy2 - 4x2y2 – xy
In questo caso alcuni monomi sono simili e altri no. Possiamo quindi eseguire i calcoli tra i monomi simili, riducendo in parte la scrittura:
3xy + 5xy2 - 4x2y2 – 2xy = xy + 5xy2 - 4x2y2
REGOLA: Per calcolare la somma algebrica di due o più monomi si procede scrivendoli uno dopo l’altro, ognuno con il proprio segno. Quando troviamo due o più monomi simili possiamo eseguire i calcoli sui coefficienti ed il risultato sarà un monomio simile, con la stessa parte letterale.
Proviamo ad immaginare la situazione seguente:
Andiamo a tradurre in forma letterale queste due somme:
3c + 2c = 5c 4p + 2c = ?
Come possiamo facilmente intuire, non è possibile calcolare la somma di oggetti diversi. Questo principio vale anche per il calcolo letterale dei monomi.
Mettiamoci alla prova!
Dati i seguenti gruppi di monomi, calcola la somma algebrica.
by -3b2 6b2 -b3y3 -b3
-2a2b2 4a2b 3a3 -5ab2
xy -5x2 7y3 -4xy2 -8xy
I monomi: moltiplicazione ed elevamento a potenza
Vediamo ora come calcolare il prodotto tra due monomi.
Prendiamo in considerazione:
3x ∙ (-2x2y)
Riscriviamo l’espressione esplicitando i prodotti sottointesi:
3 ∙ x ∙ (-2) ∙ x2 ∙ y
A questo punto, andiamo ad applicare la proprietà commutativa, calcoliamo il prodotto dei coefficienti e applichiamo la proprietà delle potenze per la parte letterale:
3 ∙ (-2) ∙ x ∙ x2 ∙ y =
-6 ∙ x1 + 2 ∙ y =
-6x3y
REGOLA: Calcolare il prodotto di due monomi significa trovare quel monomio che ha come coefficiente il prodotto dei singoli coefficienti, e come parte letterale tutte le lettere presenti nei due monomi, ognuna con esponente uguale alla somma degli esponenti con cui si presenta nei monomi di partenza.
Affrontiamo ora la potenza di un monomio. Consideriamo:
(-2a2b3)2
Dove (-2a²b³) rappresenta la base della potenza, elevata all’esponente 2. Riscriviamo per esteso l’espressione:
(-2a2b3) ∙ (-2a2b3) =
(-2) ∙ (-2) a2 + 2 b3 + 3 =
4a4b6
Andando ad osservare il prodotto ottenuto, vediamo che è un monomio in cui sia il coefficiente sia la parte letterale sono il risultato dell’elevamento alla seconda della parte corrispondente del monomio di partenza.
(-2)2∙ (a2)2 ∙ (b3)2 =
4a2 ∙ 2 ∙ b3 ∙ 2 =
4a4b6
REGOLA: La potenza di un monomio che ha come esponente un numero naturale è data dal monomio ottenuto elevando a quella potenza sia il coefficiente sia la parte letterale del monomio di partenza.
Promemoria:
- Il prodotto di due potenze con la base uguale è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti;
- La potenza di una potenza è data dalla potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.
Mettiamoci alla prova!
Dati i monomi seguenti, calcola il prodotto.
2x ∙ 1/2x2y2 =
-1/3ab ∙ (-3/2ab) =
-4x2y ∙ 2y2z =
-5a ∙ (3ba) =
Dati i monomi seguenti, calcola le potenze.
(3x2y3c)3 =
(-2/5a2b5c3)3 =
(-1/5m2n3p4)2 =
A cosa è uguale il grado di un monomio prodotto di due fattori?
I monomi: la divisione
Vediamo adesso come gestire la divisione tra monomi.
Consideriamo:
6m4n3p2q2 : 3m2np2 =
Eseguire questa divisione significa trovare il monomio che, moltiplicato per il divisore, restituisce il dividendo come risultato.
6m4n3p2q2 : 3m2np2 = 2m2n2q2
Infatti,
2m2n2q2 ∙ 3m2np2 = 6m4n3p2q2
Facciamo qualche considerazione sul quoziente ottenuto:
- Il coefficiente è rappresentato dal quoziente dei coefficienti;
- L’esponente di ogni lettera è dato dalla differenza tra esponenti del dividendo e quelli del divisore (ottenuta applicando la proprietà del quoziente di due potenze aventi la stessa base).
Possiamo quindi scrivere che:
6m4n3p2q2 : 3m2np2 =
(6 : 3)m 4 -2 n 3 - 1 p 2 - 2 q2 =
2m2n2q2
Soffermiamoci ancora un momento sulla divisione in questione. Possiamo notare che ogni lettera del divisore è contenuta come fattore nel dividendo, e che ogni lettera del divisore ha un esponente minore o uguale all’esponente che compare nella parte letterale del dividendo.
Pertanto, possiamo affermare che 6m4n3p2q2 è divisibile per 3m2np2.
REGOLA: Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore) se ogni lettera del divisore compare anche nel dividendo e se l’esponente è uguale o minore a quello con cui compare nel dividendo.
REGOLA: Il quoziente di due monomi (il primo è divisibile per il secondo) è rappresentato da un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti, come parte letterale le lettere del dividendo elevate agli esponenti ottenuti dalla differenza tra gli esponenti del dividendo e quelli del divisore.
Promemoria:
- Il quoziente di due potenze con la base uguale è dato dalla potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Abbiamo quindi appena visto come gestire la divisione di due monomi tra loro divisibili. Ma cosa succede quando i monomi non sono divisibili?
Consideriamo:
8a2c : (-4b2)
Quindi
8a2c / (-4b2) = - 2a2c / b2
La divisione per b2 viene lasciata indicata.
REGOLA: Il quoziente di due monomi che non sono divisibili tra loro è un monomio frazionario.
Mettiamoci alla prova!
Date le seguenti coppie di monomi, stabilisci quali sono divisibili e, in caso affermativo, calcola il quoziente.
8xy 4x
10a2b -2ab2
6m2 2n
5ab 2ab
2x2yz -3xz
Calcola i seguenti quozienti.
18b2 : 9b =
8x2y4z : 5x2y2 =
33 m5n4 : 22m5 =