Vediamo ora insieme alcuni casi particolari delle potenze.

Potenze che hanno 1 come esponente
Abbiamo detto che una potenza è il prodotto di fattori uguali. In base a questo, deduciamo che l’esponente deve corrispondere almeno a 2, poiché un prodotto è costituito come minimo da due fattori. Può capitare però che, svolgendo i calcoli, si presentino potenze con esponente 1. Per esempio:

14³ : 14²

Eseguiamo i calcoli:

2744 : 196 = 14

Ma per risolvere la potenza possiamo percorrere anche un’altra strada: possiamo infatti ricorrere alla seconda proprietà delle potenze (quoziente di due potenze con la stessa base). Vediamo come: 

14³ : 14² = 14 ^3-2 = 14¹

Possiamo pertanto concludere che:

14¹ = 14 

REGOLA:  ogni numero che viene elevato all’esponente 1 rimane uguale a se stesso. 

Mettiamoci alla prova!
Vero o falso?
4 ∙ 4² = 4²
3¹ = 3
2 + 3¹ = 5
2¹ + 4¹ + 3¹ = 12
5³ - 5¹ = 5²
6² + 6¹ = 6³

Potenze che hanno 0 come esponente
Per lo stesso motivo per il quale possiamo incontrare delle potenze con esponente 1, può succedere di incontrare potenze con esponente 0. Come gestirle? Vediamolo insieme.
Prendiamo ad esempio:

3³ : 3³

Eseguendo i calcoli, otteniamo

27: 27 = 1

Anche in questo caso, oltre a svolgere i calcoli possiamo ricorrere alle proprietà delle potenze. In questo caso, quella che ci serve è la seconda (quoziente di due potenze con la stessa base):

3³ : 3³ = 3 ^{3 - 3} = 3⁰ 

Possiamo quindi dedurre che:

3⁰ = 1

REGOLA: Ogni numero che viene elevato all’esponente 0 è uguale a 1. 

In generale,

Mettiamoci alla prova!
Vero o falso?
9⁰ + 3 = 4
8⁰ + 2 = 10
2² ∙ 2⁰ = 2²
a⁰ ∙ a⁰ = a⁰                                                                   
15 + 99(⁰) = 16
3 ∙ 3⁰ ∙ 3 = 3³

Che succede se il numero 1 viene elevato ad un qualsiasi esponente naturale?
Consideriamo 1⁵. Svolgendo i calcoli, avremo: 

1⁵  = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1

REGOLA: Il numero 1 elevato a qualsiasi potenza darà come risultato sempre 1.

Mettiamoci alla prova!
Vero o falso?
1²³ + 1³¹ + 5 = 7
1⁹ ∙ 1² = 1
3² ∙ 1³ = 3⁵

Inserisci il numero mancante.
5¹ ∙ 5⁴ ∙ ………¹²³ = 5⁵
7³ ∙ …….² ∙ 7² = 7⁵
2⁴ ∙ ……..³ ∙ 1⁵ = 2⁷

E nel caso in cui il numero 0 sia elevato a qualsiasi esponente maggiore di 0?
Consideriamo la potenza 0³:

0³ = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0

REGOLA: Il numero 0 elevato a qualsiasi esponente maggiore di 0 dà sempre come risultato 0. 

Che succede se eleviamo 0 a 0?
Ragioniamo insieme: la potenza 0⁰ ha un significato? Facciamo un attimo mente locale:
sappiamo che ogni numero positivo elevato a 0 = è uguale a 1;
sappiamo anche che 0 elevato ad un qualunque numero naturale è uguale a 0.
Quindi? Quella che ci si presenta è una vera e propria contraddizione. Infatti, non è possibile, nell’insieme dei numeri naturali N, definire 0⁰. 

REGOLA: Nell’insieme dei numeri naturali N la potenza 0⁰ non è definita.