Andiamo ora a scoprire le proprietà caratteristiche dei numeri razionali.

La proprietà commutativa

La somma ottenuta è la stessa!

REGOLA: La proprietà commutativa dell’addizione vale anche per le frazioni: modificando l’ordine degli addendi la somma non cambia.

In generale,

Consideriamo adesso una moltiplicazione qualsiasi, ad esempio 2/3 ∙ 2/5 = 4/15
Come è evidente dall’immagine, notiamo come il risultato rimanga lo stesso. 

REGOLA: La proprietà commutativa della moltiplicazione vale anche per le frazioni: modificando l’ordine dei fattori il prodotto cambia.

In generale,
Esempio
1/5 + 1/7 = 1/7 + 1/9
2/3 + 6/5 +7/8 = 6/5 + 2/3 + 7/8
27/4 ∙ 3/4 = 3/4 ∙ 2/7
1/6 ∙ 5/2 ∙ 1/4 = 1/4 ∙ 5/2 ∙ 1/6

La proprietà associativa

                   Consideriamo un’addizione qualsiasi…                       …e andiamo a sostituire a due addendi la loro somma:
Il risultato non cambia! 

REGOLA: La proprietà associativa dell’addizione vale anche per le frazioni: sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia.

In generale,
Adesso consideriamo una moltiplicazione qualsiasi:

1/2 ∙ 3/8 ∙ 3/4 = 9/64

1/2 ∙ (3/8 ∙ 3/4) = 9/64 

Il risultato non cambia!

REGOLA: La proprietà associativa della moltiplicazione vale anche per le frazioni: sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.

Esempio
1/2 + 7/2 + 2/3 + 5/3 = (7/2 + 5/3) + (2/3 + 1/2)
3/4 ∙ 5/2 ∙ 7/9 = 5/2 ∙ (3/4 ∙ 7/9)

La proprietà distributiva della moltiplicazione nell’addizione delle frazioni
Prendiamo come esempio la seguente addizione tra moltiplicazione: 

(1/5 + 2/3) ∙ 10/7

Possiamo procedere in due modi:

REGOLA: Quando ci troviamo una moltiplicazione di un’addizione di frazioni per una frazione, possiamo procedere moltiplicando ogni addendo per la frazione, per poi sommare i prodotti. Il risultato non cambia.

In generale,

Promemoria:

• La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche quando si divide una somma (o una sottrazione).

Esempio
(1/4 + 2/3) ∙ 3/2 = 2/3 ∙ 3 - 2 + 1/4 ∙ 3/2 = 1 + 3/8 = 11/8
(1/3 + 1/2) : 1/4 = 1/3 : 1/4 + 1/2 : 1/4 = 1/3 ∙ 4 + 1/2 ∙ 4 = 4/3 + 2 = 10/3

Mettiamoci alla prova!
Vero o falso?
5/4 ∙ 3/7 ∙ 1/5 = 1/4 ∙ 3/7
2/7 + (1/4 + 1/2) = 2/7 + 3/4
2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 = 1/3 ∙ 2/5 ∙ 1/4