Che cos’è un problema matematico? E cosa significa risolverlo? Andiamo a scoprirlo!

Immaginiamo la situazione seguente:

«Ennio è un musicista ed è stato ingaggiato per suonare in un pub. Per fare la serata, deve ricomprare un leggio nuovo che costa 25 € e le corde della sua chitarra, che costano 4.50 € al pacco. Va al negozio e ne compra 3 pacchi. Se la serata gli viene pagata 200€, e deve dare 50€ ad ogni musicista che lo accompagna (un bassista ed un batterista), quanto ha guadagnato alla fine Ennio?»

Ci troviamo davanti ad un problema matematico. Abbiamo una serie di dati che ci vengono forniti nell’enunciato e una richiesta di un valore da trovare attraverso un procedimento logico e dei calcoli. Pertanto, risolvere un problema significa: 

• Riconoscere situazioni problematiche, di diverso tipo, ed essere in grado di rappresentarle;
• Ragionare, pensare, riflettere sulle strategie risolutive;
• Risolvere problemi posti da altri;
• Inoltre, possiamo essere noi quelli chiamati a formulare o porre nuovi problemi. 

Vediamo insieme gli step da seguire per risolvere un problema.
La prima cosa da fare è leggere attentamente il testo e quindi i dati che ci vengono forniti: può succedere infatti che i dati siano sufficienti, chiari ed esaustivi; possono non essere sufficienti per la risoluzione; possono essere sovrabbondanti; possono essere «nascosti» e quindi dobbiamo andarli a ricavare.
Ad esempio, nel problema che abbiamo esposto prima, se non sapessimo a quanto ammonta la paga dei due musicisti, non potremmo calcolare con esattezza il guadagno di Ennio. Viceversa, se dal testo avessimo saputo che Ennio porta il numero 42 di scarpe, avremmo letto un dato che non ci sarebbe stato utile per risolvere il problema.
Dopo aver controllato i dati iniziali, andiamo ora a vedere le tappe da seguire per risolvere un problema.

Il linguaggio
Come abbiamo avuto modo di capire fino a questo punto, la matematica è una disciplina che si serve di un grande numero di simboli; oltre ad avere funzioni propriamente logiche, i simboli sono utili anche per sintetizzare alcune informazioni. 

REGOLA: In matematica viene definito simbolo un segno che rappresenta un’operazione, una relazione, variabile, un ente geometrico. 

Esempio
«Considera un rettangolo. La misura dell’altezza è inferiore a quella della base di 3 cm e il perimetro del rettangolo misura 26 cm. Determina la lunghezza della base e dell’altezza». 

Lo stesso problema possiamo scriverlo in linguaggio matematico:
Le strategie
Non esiste un «metodo universale» per risolvere i problemi di matematica: dobbiamo sempre analizzare il caso singolo e di conseguenza scegliere la strada più opportuna per quella situazione in particolare. Ad ogni modo, per comprendere a fondo le informazioni di partenza, esistono delle strategie che molto spesso si prestano a chiarirci le idee, soprattutto per ordinare le informazioni. Vediamo le più frequenti: 

• possiamo fare una lista, un elenco ordinato dei dati che il problema ci ha fornito;
• possiamo rappresentare graficamente la situazione iniziale attraverso i grafi;
• possiamo rappresentare graficamente la situazione iniziale attraverso le tabelle;
• possiamo visualizzare graficamente la richiesta attraverso un disegno. 

Inoltre, una volta compresi i dati e la richiesta, può essere utile procedere a ritroso, partendo cioè dalla fine. Vediamo meglio che significa.

«Quanto vale la ventesima parte della metà di un terzo di 24.000 €?»
In questo caso, la strategia migliore per arrivare alla soluzione è appunto partire dalla fine. Cioè:
troviamo un terzo di 24.000€                                       24.000 : 3 = 8.000
troviamo la metà del valore appena trovato                      8.000 : 2 = 4.000
troviamo il ventesimo del valore appena trovato                4.000 : 20 = 200
200 € è la soluzione che cercavamo.

Promemoria:

• non tutti i problemi sono risolvibili;
• alcuni problemi sono irrisolvibili perché impossibili;
• alcuni problemi sono irrisolvibili perché i dati forniti non sono sufficienti;
• esistono problemi che hanno più soluzioni valide;
• esistono problemi che hanno una soluzione, rintracciabile attraverso percorsi diversi. 

Mettiamoci alla prova!
Quanto guadagna Ennio? 

Vero o falso? Indica con V se l’affermazione è vera, con F se è falsa.
Un problema matematico è sempre risolvibile.
È sempre utile rappresentare i dati con un grafo ad albero.
Per ogni problema c’è sempre una sola soluzione.
Se troviamo due strade per arrivare alla stessa soluzione, una delle due è sbagliata.
Ogni problema può essere esposto sia in forma testuale che in linguaggio matematico.
Ogni problema richiede un ragionamento a sé.

I numeri di Fibonacci
Hai mai sentito parlare dei numeri di Fibonacci?
Fibonacci è una specie di soprannome che significa «figlio di Bonaccio», dato a Leonardo da Pisa, un personaggio vissuto a cavallo tra il 1100 e il 1200. Per seguire il lavoro del padre, Leonardo lo accompagnò nei suoi viaggi, dove entrò in contatto con il mondo arabo e imparò il loro sistema di numerazione, quello che adoperiamo noi oggi. Si rese conto che la numerazione romana, quella che era utilizzata in quel periodo in Italia, non era in grado di rappresentare numeri molto grandi, tantomeno di sommarli e moltiplicarli. Per questo motivo, Leonardo si adoperò per diffondere la numerazione araba e scrisse molti libri dove dimostrava l’utilità di questo nuovo sistema. In una delle sue opere, intitolata Liber Abaci, enunciò questo problema:
«Immagina che una coppia di conigli cominci a figliare un’altra coppia all’età di sue mesi, continuando poi a figliare una coppia al mese. Immagina poi che facciano lo stesso tutte le coppie partorite via via. Dopo un anno, quale sarà il numero totale dei conigli?»
Pertanto, i primi numeri sono uguali a 1, ma a partire dal terzo ogni numero è la somma dei due numeri precedenti. Proseguendo la sequenza, vediamo come i numeri crescono molto velocemente: ad esempio, il centesimo numero della sequenza è 354 224 848 179 261 915 075, un numero a 21 cifre! Impossibile da rappresentare con la numerazione romana.